ベルトラン チェビシェフ。 nと2nの間には素数が存在する(前編)

ベルトラン・チェビシェフの定理とエルデシュによる初等的証明

ベルトラン チェビシェフ

定理1 任意の に対して が存在して、 であれば を満たすような素数 が少なくとも一つ存在する。 ただし、 の存在性のみを保証しているこの定理はBertrandの仮説の完全な一般化ではありません。 Bertrandの仮説は と取れることまで主張しています。 として取り得る最小の整数値を考えることにしたとき、幾つかの に対する が歴史的に求められてきました。 例えば、 J. Nagura, On the interval containing at least one prime number, Proc. Japan Acad. Ser. A 28 1952 , 177—181. では が示されています。 また、仮面ライダービルドの第48話では が紹介されています。 Dusartの結果を利用して、ここでは次の定理を紹介しておきます。 が成り立つ。 ここで、 は素数個数関数。 この定理自体はから即座に従いますが、素数定理の初等的証明と深い関係があります。 彼らの論文に記載の内容をもとに、もう少し詳細に述べると• SelbergがSelbergの漸近公式を証明• Selbergが定理2の証明を簡略化• Selbergは上 下 極限の概念の使用も排除したSelbergの漸近公式からの素数定理の新しい導出法を発見• 二人は独立に論文を出版!! のようになっているようです。 のSelbergによる証明は上記記事において既に解説しました。 この記事では P. Nat. Acad. Scis. 35 1949 , 374—384. に基づいて、2. の証明を解説しようと思います。

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ベルトランの仮説

ベルトラン チェビシェフ

を用いる地域での姓の方法はさまざまであり、Chebychev、Chebyshov、Tchebycheff、Tschebyscheffなどがある。 表記もチビショフ、シェビチェフなど揺れが大きい(なおでの発音はチィビショーフに近い)。 経歴 [ ] 初期 [ ] チェビシェフは地区のオカトヴォという村で、9人兄弟の1人として生まれた。 彼の父レフ・パーヴロヴィッチは裕福な地主であった。 チェビシェフは当初、母のアグラフェーナ・イヴァーノヴナに読み書きを、のアヴドーティヤ・クヴィンティリャーノヴナ・スーハレヴァにとを習った。 チェビシェフはまた、の教師も彼の正確さや解析的な考え方を高めてくれた重要な存在であるということを述べている。 チェビシェフは(原因は不明だが)を持ち、これが彼の期における発達に影響を与えた。 幼少期から彼は足を引きずる障碍があり、歩く際にをつく必要があったため、両親は彼を(一族の伝統となっていた)にしようという考えを捨てた。 彼の障碍は、彼を多くの子供たちが楽しんでいた遊びから遠ざけ、代わりにを作るということに人生の情熱を傾けることになった。 、家族は年長の息子パフヌーティーとパーヴェル(彼はになった)に教育を施すため、に転居した。 教育は引き続き家庭で行われ、両親は彼に評判の高い教師をあてがった。 その中には、との教師であったポゴレルスキー(小説家の家庭教師も務めた)が含まれる。 大学での研究 [ ] 夏、チェビシェフはの入学試験に合格し、秋には同大学の第2哲学科で数学の勉強を始めた。 彼が師事した教員にはブラシュマン、ツェルノフ、ペレヴォシュチノフなどが含まれるが、とりわけは彼に大きな影響を与えた。 ブラシュマンは実践的なを教え、またおそらくの技術者の業績をチェビシェフに示したと思われる。 に完成させた「方程式の根の計算」に関する業績が認められ、にチェビシェフは銀メダルを授与された。 この研究の中で、チェビシェフはに基づいた n次の近似解法を導いた。 同年、彼は「最も卓越した業績の候補」と言える研究を完成させた。 、チェビシェフの経済的状況は劇的に変化した。 ロシアにが発生し、彼の両親はモスクワを離れざるを得なくなったのだ。 両親はこれ以上彼を支えることができなくなったが、彼は数学の研究を続ける道を選び、6ヶ月にわたって課程への入学試験に備えた。 チェビシェフは10月に最終試験を通過し、には「の初等的解析に関するエッセイ」という修士論文を提出した。 彼の伝記を著したプルドニコフは、チェビシェフがその頃出版された確率論の書籍、またはロシアの業における収支に関する書籍で学んだ後に、確率論の分野に興味を持ったのではないかという説を示している。 壮年期 [ ] 、チェビシェフは「を援用した積分について」と題された論文をに提出し、同大学で講師の資格を得た。 この頃、の業績のいくつかがフスによって再発見され、によって編纂されていた。 ブニャコフスキーはチェビシェフに対してこれらの研究を行うよう勧め、このことはチェビシェフの業績に影響を与えた。 、彼は「の理論」と題した論文を提出、5月に学位を得た。 にはサンクトペテルブルク大学の特任教授に推挙され、には(通常の)職を得た。 25年にわたる教育業績により、にはとなった。 、彼は大学を辞して残りの人生を研究に捧げた。 またからにかけて、彼は南郊の(現在の)にあったツァールスコエ・セロー・で実践的力学の講義を担当した。 科学的な業績により、彼はにの準会員に推挙された。 同年には特別会員、には正会員となった。 同じく1858年には名誉会員にもなり、その他にもいくつかの名誉職を得た。 には教育省の科学委員会に加わった。 には科学アカデミーの兵器部門の常任委員に任命され、さらに委員長として砲術や射撃理論に関連した問題を扱うことになった。 はに彼を通信会員に、またには外国人正会員に加えた。 、チェビシェフは(その3年前に設立された)サンクトペテルブルク数学会の名誉会員に推挙された。 チェビシェフは11月26日、サンクトペテルブルクで死去した。 数学における功績 [ ] チェビシェフは確率論、およびにおける業績で知られている。 より正確な形は、によって与えられる。 遺産 [ ] チェビシェフは、ロシアの数学の父とも言われている。 彼の教え子の中には、、、、などがいる。 によると、チェビシェフの弟子は4000人にもなる。 彼の功績を記念して、面にはチェビシェフの名を冠したがあり、また2010チェビシェフが存在する。 関連項目 [ ]• 外部リンク [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。 , , and (ロシア語)• (フランス語).

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ベルトランの仮説と素数定理に関するエルデシュの証明

ベルトラン チェビシェフ

ベルトランの予想から5年後、チェビシェフがこの予想を肯定的に解決し「ベルトラン・チェビシェフの定理」と呼ばれます。 チェビシェフの証明はガンマ関数を用いた高度なものでしたが、放浪の天才数学者として有名なエルデシュが高校生の時に初等的な証明を発見しました。 本書のタイトルはエルデッシュのこの言葉から取られています。 (邦訳「 」)に載っています。 また、数研通信70号に一松信先生が「」という記事で解説されておりそれぞれを参考に前編、の2回に分けエルデシュによる証明を紹介します。 一松信先生も記事のなかで 実力のある高校生なら十分に理解できる証明で,知っていて損はしないと思いますのでここに紹介します。 とコメントされている通り高校生でも十分理解できる内容なので証明を一緒に追ってもらえればと思います。 [math]n! まとめると以下になります。 参考文献• 一松 信, 「」(数研通信70号)• 栃折 成紀, 「」(数研通信76号).

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